2.1.2- Ordenamientos

          Comenzaremos indicando que elementos son relevantes para tener bien definida un Álgebra Booleana.
          En primer lugar las estructuras con las que vamos a trabajar, serán representadas por la letra: E
          ¿Cuáles son estas estructuras en relación con el I Ching?

          2.1.2.1- Estructuras (E)

1. Las líneas simples: {yin ; yang}, o numéricamente {0 ; 1}
   La notación { } está indicando un conjunto y los valores interiores, separados por punto y coma, los elementos contenidos en dicho conjunto.
   
2. El conjunto de cuatro digramas:
   
      {(yin, yin); (yin, yang); (yang, yin); (yang, yang)}
   
      ó {00; 01; 10; 11}

3. El conjunto de ocho trigramas:
   
   {000; 001; 010; 011; 100; 101; 110; 111}
   
   
4. El conjunto de 64 hexagramas:
   
   {000000; 000001; 000010; ... ; 111101; 111110; 111111}

          Lo usual una vez que tenemos la estructura de trigramas es pasar a su duplicación, o sea la estructura de hexagramas.
          El proceso de duplicación puede seguir a partir de los hexagramas extendiéndose a 4096 dodecagramas como una quinta estructura. De hecho esta quinta estructura ha sido utilizada en la antigüedad por los chinos y su registro se conoce como: "Yi Lin", la "Foresta de los Cambios".
          Actualmente hay un grupo de trabajo en Europa dedicado a la traducción del chino al inglés de dicho antiguo manuscrito y, por otra parte, reaparece la utilidad de esta estructura analizada por un estudioso del I Ching con relación a los procesos recursivos y a todas las metáforas vinculadas con el funcionamiento del cerebro. Nos referimos a Chris Lofting sobre cuyos trabajos tendremos oportunidad de extendernos en artículos a ser publicados en el futuro. Digamos por ahora solamente que sus estudios incorporan el tema de las líneas móviles que en las estructuras contempladas en el presente artículo no se han analizado todavía.

          2.1.2.2- Operaciones Booleanas

          En esta etapa de definición de un Álgebra Booleana el Dr. Schöter utiliza tres de los operadores lógicos vistos en la primera parte de este artículo.

          1- Operador Complemento (NOT): ~
          2- Operador Unión (OR): |
          3- Operador Intersección (AND): &

          Si somos estrictos solamente son necesarios dos de estos operadores, puesto que un tercero, tal como la intersección, puede ser definido a partir de los otros dos, tal como vimos en la primera parte de este artículo, en donde indicábamos que: x & y = ~(~x| ~y). Pero si no se busca esta rigurosidad, sino el hacer presente los operadores que se utilizarán en el análisis de las estructuras, sus ordenamientos y secuencias se hace conveniente el agregar los tres operadores lógicos que no son independientes: Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica.
          Además de los operadores lógicos en la definición del Álgebra Booleana se introducen dos elementos especiales.

          2.1.2.3- Elementos especiales

          Son dos elementos pertenecientes al nivel de la estructura (E) que estemos considerando.
          O sea que si trabajamos al nivel de digramas son dos de los cuatro digramas, Si trabajamos al nivel de trigramas son dos de los ocho trigramas. Si trabajamos al nivel de hexagramas serán dos de los 64 hexagramas.
          En todos los casos estos dos elementos especiales reflejan al puro yin y al puro yang.
          En el nivel de digramas serán: 00 y 11
          En el nivel de trigramas serán: 000 y 111
          En el nivel de hexagramas serán: 000000 y 111111
          De la misma forma en el nivel de dodecagramas tendremos:

          Como en los ordenamientos siempre comenzamos como el inferior puro yin y el superior puro yang, a estos elementos especiales los llamaremos: "inf" al puro yin, "sup" al puro yang.

          2.1.2.4- Definiciones de un Álgebra Booleana

          Estamos ahora en condiciones de dar la definición de un Álgebra Booleana.
          En realidad daremos varias definiciones. La primera es la que produce el Dr. Schöter en su estudio:

< E, inf, sup, ~ , | , & >

          La segunda más rigurosa en el sentido de expresar los dos operadores lógicos que se toman como independientes:

< E, inf, sup, ~ , | >

          Y, una tercera que es más orientada hacia la visualización de los operadores lógicos que podemos utilizar en nuestros análisis:

< E, inf, sup, ~ , | , & , - , ^ >

          En esta última recordamos que - representa al operador diferencia y ^ al operador diferencia simétrica.

          2.1.2.5- Leyes Booleanas

          Se definen como tales a:

1- Leyes de Identidad
2- Leyes de Complemento

          Las de Identidad son las siguientes:

1.1-      x | inf = x
1.2-      x & sup = x

          También las Leyes de Complemento son dos:

2.1-      x | ~x = sup
2.2-      x & ~x = inf

          En todo lo anterior hemos seguido el trabajo del Dr. Andreas Schöter
con algunas modificaciones por las diferencias de idioma por un lado, y por otro por las correcciones a la definición de un Álgebra Booleana.
          En su estudio este indica la significativa similitud de su desarrollo con el de Daniel S. Goldenberg, producido en el año 1975, que tuvo por título: "The Álgebra of the I Ching and its Philosophical Implications", y que fue publicado en el Journal of Chinese Philosophy 2, pp. 149-179. D. Reisel Publishing Company. También indica algunas diferencias en los enfoques, señalando como la más importante el hecho de que en su trabajo Goldenberg no define formalmente la operación de complemento, por lo que no estaría en condiciones de definir plenamente las posibles relaciones que tienen lugar entre los hexagramas.
          Debemos por nuestra parte señalar algo similar en la definición que proporciona el Dr. Schöter respecto a la que proporcionamos nosotros y señalar que al no definir formalmente éste al operador lógico diferencia, no será posible una definición de rango completo de las posibles relaciones que pueden obtenerse entre los hexagramas, como veremos en su oportunidad al analizar la estructura en red de los mismos. La importancia de este operador lógico diferencia, descrito formalmente en la primera parte de este estudio, reside en lo fundamental en que es el único operador lógico binario, entre los presentados aquí, que resulta no ser conmutativo.

          Es decir que: x - y ≠ y - x

          Mientras que los demás operadores lógicos binarios: unión, intersección y diferencia simétrica son conmutativos.

          Es decir: x | y = y | x ; x & y = y & x ; x ^ y = y ^ x

          A continuación el Dr. Schöter pasa a considerar el tema de los ordenamientos, comenzando por lo que llama "el Ordenamiento Inducido"

          2.2 - El Ordenamiento Inducido

          El primer tipo de ordenamiento que considera es el "orden parcial" sobre los elementos de estructura de la red.
          La notación utilizada es: x ≤ y
          Esto indica que x es anterior o del mismo nivel que y en la ordenación.
          La definición formal de la ordenación parcial está tomada del texto de Stephen A. Wiitala que lleva por título: "Discrete Mathematics: A Unified Approach", (dicho texto es del año 1987, fue editado en New York por Mc Graw-Hill International Editions y la referencia de A. Schöter es a su página 135):

          "Definition 5: Partial Ordering

                    x ≤ y      if and only if      x | y = y "

          ¿Cómo se debe aplicar esta definición formal ?

          Primero de todo precisemos la notación empleada, pues pueden dar lugar a confusiones los símbolos empleados.
          Hay dos tipos de significaciones que deben ser distinguidas, uno es el que comentamos antes y se refiere a una comparación de los niveles en que se encuentran los elementos estructurales y el otro es el de la igualdad matemática directa entre dichos elementos.
          Sean, por ejemplo, dos elementos del mismo nivel en digramas:

                    x = 10 ; y = 01

          Evidentemente no son iguales en el sentido aritmético, pero si lo serían al indicar que se hallan en el mismo nivel en la estructura en red.

          "x ≤_n y      si y solamente si      x | y = y"

          Vayamos ahora a un ejemplo de aplicación.

          Sean x = 00 ; y = 10

          Tendremos que: x | y = 00 | 10 = 10 entonces se cumple que x | y = y por lo tanto será x ≤_n y , esto significa que 00 está en la estructura en red de digramas en menor o igual nivel que 10.
          Evidentemente toda esta aplicación adquiere sentido para llegar a un cálculo lógico que permita, por ejemplo, la programación en ordenadores de las comparaciones entre dos elementos estructurales.
          A nivel humano basta con observar que, en la representación diagramática de la figura número 1, están conectados por líneas directas dos elementos de niveles consecutivos y que el 'mayor' nivel está dado por la mayor "yangnesidad" (valga el neologismo) de los elementos. Es decir en la figura vemos un primer nivel sin líneas yang ("yangnesidad" cero), lo sigue un nivel en el que cada elemento tiene una línea yang ("yangnesidad" uno) y finalmente el nivel superior con dos líneas yang ("yangnesidad" dos).
          Para no ser confusos en los análisis posteriores numeraremos los niveles de acuerdo a su "yangnesidad". Así el primer nivel, en el que se encuentra inf y tiene yangnesidad cero, será a partir de ahora el nivel cero.
          Entonces la red de digramas consta de los niveles: cero, uno y dos.
          Si tomamos ahora como x en la red de digramas a 00 y como y a 01 también verificamos que: x | y = 00 | 01 = 01 por lo que se está diciendo que x está en menor o igual nivel que y. Lo mismo ocurriría si tomamos como x a un elemento del primer nivel (01 ó 10) y como y a 11.

          x | y = 01 | 11 = 11      ó      x | y = 10 | 11 = 11

          Pero en todo esto hay una 'bonita' tautología, pues partimos de tomar a x como el de menor nivel para arribar a la conclusión de que entonces x será de menor o igual nivel que y. ¡Aumentamos así el grado de desconocimiento en lugar de aumentar el grado de conocimiento!.           Unos párrafos más adelante enfrentaremos la tarea de corrección de esta tautología.
          Digamos previamente que la consideración de niveles se mantiene para las otras estructuras, como ser la de trigramas y la de hexagramas, aunque en estas no encontremos conectados todos los elementos en los niveles consecutivos.
          Veamos la figura que corresponde a la red de trigramas:

                    Nivel 0 -      000 = inf
                    Nivel 1 -      100 ; 010 ; 001
                    Nivel 2 -      110 ; 101 ; 011
                    Nivel 3 -      111 = sup

          También observamos acá que los elementos de un mismo nivel no están conectados por líneas directas y que los de niveles consecutivos no conectados tienen una relación complementaria (operador NOT):

                    110 = ~ 001 ; 100 = ~ 011

          Los distintos niveles, como anteriormente, se caracterizan por su 'avance' (hacia arriba) de la "yangnesidad" de los elementos estructurales
          Y los del mismo nivel tienen la misma "yangnesidad".
          Observamos que en realidad obtenemos un resultado "débil" aunque cierto en el sentido afirmativo y más "fuerte" en sentido negativo.
          Afirmativamente no podemos (a nivel lógico apto para la programación en ordenadores) saber si 00 es menor que 10 en cuanto a nivel en digramas y negativamente podemos llegar a saber que x >_n y

          Por ejemplo: x = 11 ;      y = 01

                    x | y = 11 | 01 = 11 = x y      entonces x >_n y      podemos

pues afirmar que      x >_n y

          Así la definición tomada a partir de Wiitala funciona pero "débilmente" - y esto se extiende a todas las estructuras para elementos conectados, que son los únicos a los que puede aplicarse según debe reconocer a continuación el Dr. Schöter al decir:

          "Esto es, si y está por "encima" de x en el diagrama, y una línea puede trazarse desde x hasta y, entonces      x ≤ y"

          La definición se restringe pues a elementos conectados y no se puede aplicar a aquellos que resulten de igual nivel pues ellos nunca pueden conectarse.
          Esto nos indica una de las 'patas' de la tautología apuntada anteriormente.
          Además en la afirmación anterior hay una mezcla de nivel humano con el nivel lógico (computacional).
          ¿Cómo apreciaría una computadora que una línea puede ser trazada desde x hasta y?. Y además que y está por "encima" de x ?. ¿Qué sentido tiene en tal caso el afirmar como conclusión que x ≤ y ?. Si está por "encima" y de x resulta sin más que x <_n y. Queda así resuelta la tautología apuntada, debida a la confusión de niveles (humano y lógico) y a la contradicción de sostener y no sostener al mismo tiempo la conexión entre elementos estructurales del mismo nivel en la red.

2.2.1- Hacia un ordenamiento completo de los elementos conectados
en la red de digramas

          Si cambiamos levemente la definición tomada de Wiitala podemos establecer el ordenamiento completo de los elementos conectados directamente por líneas.
          Para ello propongamos la siguiente definición:

          "x <_n y      si y solamente si      x | y = y "

          Lo único modificado es la relación de nivel entre x e y. Esa modificación se hace evidente por cuanto, como ya expresamos, los elementos de igual nivel no están conectados.

          Si queremos realizar al respecto un diagrama lógico orientado hacia la programación en ordenadores y teniendo en cuenta que las preguntas se representan dentro de rombos y las afirmaciones en el interior de rectángulos tendríamos:

          Supongamos que entran aleatoriamente los elementos x e y sabiendo que no tendremos el par 10 y 01 ni el par 11 y 00 pues no están conectados.
          Estudiemos que ocurre con los distintos pares posibles al pasar por el diagrama de flujo:

          Vemos que la lógica implicada funciona correctamente.

          Pasemos ahora a ver lo que sucede con la red de trigramas.

2.2.2- Hacia un ordenamiento completo de los elementos conectados en las estructuras de trigramas

          Nos basaremos aquí en la figura número 2, que por comodidad reproducimos nuevamente a continuación.

          Vemos aquí que, como en el caso anterior, los elementos del mismo nivel no están conectados por líneas y que los elementos conectados directamente por líneas están en niveles consecutivos.
          Los pares conectados, en su doble sentido son 24:

          Podemos observar que el aumento de 'yangnesidad' está relacionado en los niveles 1, 2 y 3 ('yangnesidad' 1, 2 y 3 respectivamente) por la operación lógica unión (OR) de los elementos conectados a ese elemento de mayor 'yangnesidad' (y no conectados entre sí).
          Por ejemplo:

          También para los niveles 0, 1 y 2 podemos ver que el operador lógico intersección (AND) marca la disminución de 'yangnesidad'

          Veamos como funciona acá la definición:

                "x <_n y          si y solamente si      x | y = y"

          x = 111 ; y = 110          x | y = 111 | 110 = 111 ≠ y, luego x >_n y
          x = 110 ; y = 111          x | y = 110 | 111 = 111 = y, luego x <_n y

          x = 111 ; y = 101          x | y = 111 | 101 = 111 ≠ y, luego x >_n y
          x = 101 ; y = 111          x | y = 101 | 111 = 111 = y, luego x <_n y

          x = 111 ; y = 011          x | y = 111 | 011 = 111 ≠ y, luego x >_n y
          x = 011 ; y = 111          x | y = 011 | 111 = 111 = y, luego x <_n y

          x = 110 ; y = 100          x | y = 110 | 100 = 110 ≠ y, luego x >_n y
          x = 100 ; y = 110          x | y = 100 | 110 = 110 = y, luego x <_n y

          x = 110 ; y = 010          x | y = 110 | 010 = 110 ≠ y, luego x >_n y
          x = 010 ; y = 110          x | y = 010 | 110 = 110 = y, luego x <_n y

          x = 101 ; y = 100          x | y = 101 | 100 = 101 ≠ y, luego x >_n y
          x = 100 ; y = 101          x | y = 100 | 101 = 101 = y, luego x <_n y

          x = 101 ; y = 001          x | y = 101 | 001 = 101 ≠ y, luego x >_n y
          x = 001 ; y = 101          x | y = 001 | 101 = 101 = y, luego x <_n y

          x = 011 ; y = 010          x | y = 011 | 010 = 011 ≠ y, luego x >_n y
          x = 010 ; y = 011          x | y = 010 | 011 = 011 = y, luego x <_n y

          x = 011 ; y = 001          x | y = 011 | 001 = 011 ≠ y, luego x >_n y
          x = 001 ; y = 011          x | y = 001 | 011 = 011 = y, luego x <_n y

          x = 100 ; y = 000          x | y = 100 | 000 = 100 ≠ y, luego x >_n y
          x = 000 ; y = 100          x | y = 000 | 100 = 100 = y, luego x <_n y

          x = 010 ; y = 000          x | y = 010 | 000 = 010 ≠ y, luego x >_n y
          x = 000 ; y = 010          x | y = 000 | 010 = 010 = y, luego x <_n y

          x = 001 ; y = 000          x | y = 001 | 000 = 001 ≠ y, luego x >_n y
          x = 000 ; y = 001          x | y = 000 | 001 = 001 = y, luego x <n y

          La definición funciona bien también para trigramas proporcionando un orden completo para los elementos conectados directamente por líneas (niveles consecutivos).

          Entonces también para trigramas podemos dar el diagrama de flujo, que resulta idéntico al del caso de digramas:

          Antes de proseguir con el estudio de la red que corresponde al caso de hexagramas completemos lo visto hasta ahora planteándonos la siguiente cuestión:
          En el caso de trigramas ¿porqué en la red el orden de conexiones es el dado?, ¿podría ser de otro modo este orden?.

          Reproduzcamos nuevamente la red de trigramas:

          ¿Puede ser que en el nivel 1 (100; 010; 001) el orden fuera distinto?

          Por ejemplo:

          Pero en tal caso ¿como sería el nivel 2?

          La clave para esta última pregunta la daría lo ya visto sobre el operador lógico unión (OR) aplicado a los elementos del primer nivel para obtener los elementos del segundo nivel.
          Así sería:

          y entonces el segundo nivel quedaría:

011 & 110 = 010
011 & 101 = 001
110 & 101 = 100

2.2.4- Bases para el análisis del caso en que los elementos estructurales de la red sean hexagramas

          Antes de encarar el caso mencionado, cuya representación diagramática pasa a ser mucho más complicada que las vistas hasta ahora (digramas y trigramas), resulta útil el cálculo de cuantos elementos corresponden a cada nivel. Vamos a trabajar primero con los casos ya vistos de digramas y trigramas para ir tomándole "la mano" al método y estar en condiciones de extenderlo luego al caso de conectividad y secuencias en hexagramas, ya sin el soporte de la representación diagramática de la red.
          Es un cálculo combinatorio.
          En digramas cada elemento tiene dos posiciones y tenemos tres niveles:

          Así:              00 está en el nivel 0
                              01 y 10 están en el nivel 1
                              11 está en el nivel 2

          En trigramas cada elemento tiene tres posiciones y hay cuatro niveles.
                    000 está en el nivel 0
                    001; 010 y 011 están en el nivel 1
                    110; 101 y 011 están en el nivel 2
                    111 está en el nivel 3

Autor: Ing. Raúl Jurovietzky