De acuerdo a lo indicado en la última parte de la tercer entrega de este estudio corresponde, en primer lugar, sintetizar lo obtenido hasta ahora respecto al análisis en red de una estructura de hexagramas en lo que atañe a su conectividad.
          Recordamos la dificultad de producir al respecto una representación diagramática visualizable, por lo que nos habíamos propuesto reemplazar dicha representación por una tabla que nos permitiese rápidamente poner de manifiesto dicha conectividad.
          En primera instancia produciremos esa tabla tomando los hexagramas con la numeración correspondiente al orden del rey Wen, por ser esta la más usual y así facilitar sus aplicaciones.
          La daremos ordenada por la relación de niveles consecutivos y dentro del nivel por su valor binario creciente.

          Tabla 1 de 'consecuentes conectivos'

                                        Tabla Nº 1

          ¿Cuáles pueden ser algunas de las aplicaciones de esta tabla?

          La inmediata sería ubicar al hexagrama en su nivel en la estructura en red y saber con cuales hexagramas se conecta en el nivel inmediato superior.
          Así, por ejemplo, podemos ver que el hexagrama 53 pertenece al nivel 3 y se conecta con los hexagramas 33, 57 y 37 del nivel 4.
          Una molestia en esta utilización es la búsqueda de la ubicación del hexagrama 53. Para facilitar ello confeccionaremos otra tabla en la que los hexagramas del menor nivel entre los consecutivos estén ordenados de acuerdo a la numeración en el orden del rey Wen.

          Tabla 2 de 'consecuentes conectivos'

          Ordenada por la numeración de hexagramas del orden del rey Wen.

          
                                        Tabla Nº 2

          2.2.5.2.- Análisis de Secuencias

          Otra aplicación de lo visto es establecer una secuencia de conexiones, un camino en la red que conduzca desde un hexagrama hasta otro.
          También esta tarea será facilitada por la utilización de la tabla número dos.
          Entre dos hexagramas podemos tener más de un camino posible o ninguno.
          Vamos a comenzar ejemplificando y siguiendo un camino de algunos tanteos, para después ir precisando los objetivos y presentando algunas reglas que permitan encontrar la solución en forma sencilla.
          Supongamos que quisiéramos ver una secuencia - si la hubiera - que conduzca desde, digamos, el hexagrama 04 del nivel 2 hasta el hexagrama 44 del nivel 5.
          De la tabla número dos obtenemos que desde el hexagrama 04 se abren cuatro caminos hacia el nivel 3.
          Estos caminos conducen a los hexagramas 59, 64, 18 y 41.
          Tomemos en primer lugar el hexagrama 59:   04      59

          Nuevamente de la tabla 2 obtenemos que desde el hexagrama 59 del nivel 3 se abren tres caminos hacia el nivel 4. Estos caminos conducen a los hexagramas: 06, 57 y 61.
          Tomemos nuevamente uno de ellos, sea el 06: 59      06

          Ahora desde el hexagrama 06 para pasar al nivel 5 - y nuevamente utilizando la tabla segunda - se abren dos caminos, uno de los cuales conduce al objetivo, el hexagrama 44: 06      44

          En resumen, la secuencia de conexiones encontrada para pasar del hexagrama 04 al hexagrama 44 es:
                              04 - 59 - 06 - 44

          Si en lugar de elegir el hexagrama 59 del tercer nivel hubiésemos elegido otro de los cuatro posibles, por ejemplo, el 64 ¿cómo sería la secuencia?
          Empezaría con: 04 - 64
          Ahora, pasamos del nivel 3 al 4 con sus tres posibilidades desde el hexagrama 64 que son: 06, 50 y 38
          Si elegimos el 06 como en el caso anterior queda determinada otra de las secuencias posibles de pasaje: 04 - 64 - 06 - 44
          De otra manera, si del nivel 3 hubiéramos elegido el hexagrama 18 de los cuatro posibles: 59, 64, 18 y 41
                              04 - 18

          y en el nivel 4 elegimos el hexagrama 57 de los tres posibles: 57, 50 y 26: 18 - 57
          Vemos que en el nivel 4, partiendo del hexagrama 57 tenemos al hexagrama 44
          Entonces otra secuencia posible sería: 04 - 18 - 57 - 44
          Si en lugar del hexagrama 57 del nivel 4 elegimos el hexagrama 50:
                              18 - 50
          también encontramos al hexagrama 44 en el quinto nivel, obteniendo otra secuenacia conectiva: 04 - 18 - 50 - 44
          Finalmente, si en el nivel 4 hubiésemos elegido el hexagrama 26, vemos que no tiene conexión con el hexagrama 44, pues sus conexiones con el nivel consecutivo superior están dadas por los hexagramas 09 y 14
          Se nos plantea la siguiente pregunta:

          ¿Cómo determinar los caminos conectivos que permitan pasar de un hexagrama a otro sin tener que hacer el tanteo que fuimos realizando?

          En primer lugar vamos a confeccionar una tabla que permita pasar rápidamente de la numeración de los hexagramas en el orden del rey Wen a su correspondiente binario codificado en decimal y al binario representativo del hexagrama y que además indique el nivel de pertenencia del mismo en la estructura en red de los hexagramas.
          Luego veremos como utilizar las tablas dadas para establecer si existe conectividad entre dos hexagramas determinados en la estructura en red siguiendo los pasos necesarios con algunos ejemplos.

          Pasemos pues a la confección de dicha tabla, que llamaremos 'tabla de pasaje del orden del rey Wen al binario representativo'

          Tabla 3 de pasaje del orden del rey Wen al binario representativo

          
                                                  Tabla Nº 3

          ¿Cómo utilizamos las tablas para establecer si existe conectividad entre dos hexagramas determinados en la estructura en red?

          Sigamos los pasos necesarios con un ejemplo.
          Sea analizar si hay conectividad entre los hexagramas 25 y 07 (números del orden del rey Wen).
          Los pasos son los siguientes:

1. Determinación del hexagrama que se encuentra en menor nivel.
   Para ello utilizaremos las columnas 1 y 4 de la tabla número 3 ó las columnas 1 y 2 de la tabla número 2.
2. Comenzando con el hexagrama de menor nivel encontrado (la tabla número 2 es de 'consecuentes conectivos') y utilizando la primer y tercer columna hallamos las conexiones hacia el nivel consecutivo siguiente.

          ¿Es útil a los propósitos buscados el paso 2?
          En realidad no, porque estaríamos haciendo a partir de ello los tanteos que queríamos reducir y que discutiéramos antes.
          Veámoslo en el ejemplo propuesto de investigar la secuencia conectiva entre los hexagramas 25 y 07.
          Aplicando el punto 1, vemos que al hexagrama 25 le corresponde el nivel 4 y al hexagrama 07 le corresponde el nivel 1.
          Yendo a la tabla 2, al hexagrama 07 (el de menor nivel) le están conectados los hexagramas 04 - 29 - 40 - 46 y 19 del nivel 2.
          A uno de estos, como el 04, le corresponden del nivel 3 los hexagramas: 59 - 64 - 18 - 41
          Si tomamos uno de ellos, sea el 18, le corresponden del nivel 4 los hexagramas: 57 - 50 - 26 . Esto significa que no hemos obtenido una conexión entre los hexagramas 07 y 25.
          Al hexagrama 59 del nivel 3 le están conectados en el nivel 4 los hexagramas: 06 - 57 y 61, pero no lo está el hexagrama 25. Tampoco tenemos secuencia conectiva por este lado entre los hexagramas 07 y 25.
          Con el hexagrama 64 del nivel 3 están conectados los hexagramas del nivel 4: 06 - 50 y 38, pero no lo está el hexagrama 25. No tenemos secuencia conectiva entre los hexagramas 07 y 25.
          Si tomamos ahora el hexagrama 41 del nivel 3 encontramos (siempre utilizando la tabla 2) que del nivel 4 le corresponden los hexagramas: 61 - 38 y 26, por lo que tampoco encontramos secuencia conectiva.
          Vemos que estamos haciendo un tanteo que puede ser largo.
          ¿Qué tan largo puede ser este tanteo?
          Los extremos entre los que es mayor la cantidad de tanteos necesarios se dan entre los niveles más separados, o sea entre los niveles 1 y 5. A un hexagrama del nivel 1 vimos que le corresponden cinco del nivel 2, a un hexagrama del nivel 2 le corresponden 4 hexagramas del nivel 3, a un hexagrama del nivel 3 le corresponden 3 hexagramas del nivel 4 y a un hexagrama del nivel 4 le corresponden 2 hexagramas del nivel 5 (aunque aquí estaríamos 'viendo' si es o no el hexagrama buscado lo mismo que no habría que hacer tanteos con los hexagramas del nivel 1).
          En total y en la situación más desfavorable (la de que no hallemos conectividad hasta el último tanteo y que haya una sola secuencia conectiva, o que no exista secuencia conectiva) tendríamos: 4 x 3 = 12 tanteos posibles.

          ¿Cómo producir un enfoque que nos permita reducir el número de tanteos o terminar con ellos al par de permitirnos hallar las distintas secuencias conectivas posibles?.

          Procedamos con el mismo par de hexagramas del ejemplo anterior sobre los cuales queremos, en primer lugar, saber si existe una secuencia conectiva entre ellos.
          Vamos a utilizar operadores lógicos. Entonces debemos encontrar el binario representativo del hexagrama cuya numeración se da en el orden del rey Wen, y como antes a que nivel pertenece. Tenemos que utilizar la tabla número 3 para ello.
          Con la primera, tercera y cuarta columna obtenemos:

          hexagrama: 25, binario representativo: 100111, nivel: 4

          hexagrama: 07, binario representativo: 010000, nivel: 1

          Al hexagrama de menor nivel lo denominamos x , al de mayor nivel lo denominamos y como hiciéramos en una oportunidad anterior.
          Entonces será:
                                        x = 010000          ;          y = 100111

          Ahora se pone de manifiesto nuevamente la utilidad de tener un operador lógico no conmutativo, como lo es el operador lógico diferencia que ya utilizáramos en la tercer entrega de este estudio, aunque allí lo hacíamos entre niveles consecutivos.
          Ahora extenderemos lo afirmado allí a niveles no consecutivos. Luego de ver algunos ejemplos justificaremos la validez de dicha extensión.
          Si lo aplicamos a x e y tendremos:

                              x - y = 010000 - 100111 = 010000 ≠ inf

          Lo que significa que entre el hexagrama 07 del nivel 1 y el hexagrama 25 del nivel 4 no existe secuencia conectiva.
          Sin realizar ningún tanteo podemos entonces descartar todos los casos en que no existe secuencia conectiva.
          Apliquemos lo anterior a otros ejemplos:
          Sean ahora los hexagramas 30 y 04. ¿Existirá una secuencia conectiva (o varias) entre ellos?
          Determinamos primero los niveles a los que pertenecen dichos hexagramas y sus valores en el sistema de numeración binario representativo mediante la tabla 3.
          El hexagrama 04 pertenece al nivel 2 y el 30 al nivel 4.
          Entonces:
                              x = (04)w = (010001)2

                              y = (30)w = (101101)2

          Donde indicamos con los subíndices el sistema de numeración utilizado: ( )w indica la numeración usual correspondiente al orden del rey Wen, y ( )2 indica el sistema binario representativo del hexagrama.
          Resulta la diferencia:
                                                  x - y = 010001 - 101101 = 010000 ≠ inf

          Esto indica que tampoco se encuentran sobre una secuencia conectiva.
          Tomemos ahora los hexagramas 58 y 29
          De la tabla 3 obtenemos que:

          (58)w = (010010)2 y es de nivel 2

          (29)w = (110110)2 y es de nivel 4

          Entonces x = 010010     ;     y = 110110

          x - y = 010010 - 110110 = 000000 = inf

          lo que nos permite concluir que los hexagramas 58 y 29 se hallan sobre una secuencia conectiva.
          Hemos logrado entonces, hasta ahora, descartar rápidamente los casos en que no existe secuencia conectiva y el poder asegurar cuando si existe esta secuencia.

          ¿Cómo podemos determinar, en caso de que exista secuencia conectiva, los 'eslabones' sucesivos de estas secuencias?

          Otra secuencia posible sería:

          y no darían secuencia conectiva los hexagramas 59 y 48.

          (59)w = ( 0 1 0 0 1 1 )2

          (48)w = ( 0 1 1 0 1 0 )2

          Veamos:

          (29)w = ( 0   1   0   0   1   0 )2                    Nivel 2

          (59)w = ( 0   1   0   0   1   1 )2                    Nivel 3

          (58)w = ( 1   1   0   1   1   0 )2                    Nivel 4

          Si x = (59)w = (010011)2          ;          y = (58)w = (110110)2

          x - y = 010011 - 110110 = 000001 ≠ inf

          No hay conexión entre los hexagramas 59 y 58.

          Con el hexagrama 48 sucede lo mismo:

          x (48)w = (011010)2          ;          y = (58)w = (110110)2

          x - y = 011010 - 110110 = 001000 ≠ inf

          En los dos casos se cumple con el requisito de permanencia de los unos (yangs) del hexagrama de menor nivel (x) en el hexagrama de mayor nivel (y), pero no hay secuencia conectiva sin embargo:

          Lo que sucede es que el requisito anterior es necesario pero no suficiente.
          Si volvemos a observar los casos en que no había conectividad:

          "Se deben mantener los unos (yangs) del hexagrama de menor nivel en el hexagrama de mayor nivel de la secuencia y además mantener los ceros (yins) del hexagrama de mayor nivel en los 'eslabones' intermedios para que exista secuencia conectiva a través de ellos".

          Esto es lo que justifica la utilización del operador lógico diferencia y lo vuelve tan útil, puesto que su aplicación indica si se cumplen ambas condiciones o no. Si el resultado de la operación lógica diferencia, no sólo entre 'extremos', sino también en los eslabones intermedios con el hexagrama de mayor nivel es inf ello indica que se cumplen ambas condiciones.

          Sea ahora, como ejemplo, el determinar si hay secuencia conectiva entre los hexagramas 08 y 09.
          Mediante la tabla 3 obtenemos:

          (08)w = (000010)2 Nivel 1

          (09)w = (111011)2 Nivel 5

          Entonces:          x = 000010          ;          y = 111011
          Resultando:
                                        x - y = 000010 - 111011 = 000000 = inf

          Lo que indica que hay secuencia conectiva entre dichos hexagramas.

          Los 'eslabones' de una de las secuencias posibles los podemos obtener agregando unos (yangs) en los lugares permitidos, uno por nivel de 'avance' en la estructura en red y dejando el resto con ceros (yins).
          Para el ejemplo anterior la indicación de lugares permitidos y lugares predeterminados sería:

                    _ _ _ 0 1 _

          Los lugares permitidos están dados por los guiones y los predeterminados tienen un cero (yin) en la posición correspondiente al cero (yin) de y, y un uno (yang) en la posición correspondiente al uno (yang) de x.
          Vemos que en este caso en que los hexagramas extremos son del nivel 1 y del nivel 5, tenemos 5 - 1 = 4 lugares permitidos.
          Una de las secuencias conectivas podría ser:

                    20 Nivel 2

                    53 Nivel 3

                    57 Nivel 4

                    09 Nivel 5

          O sea que la secuencia conectiva es:

                    08 - 20 - 53 - 57 - 09

          Aquí también encontramos que para facilitar las búsquedas del número de hexagrama en el orden del rey Wen a partir del binario representativo sería conveniente contar con una tabla ad-hoc.
          A continuación exponemos dicha tabla:

          Tabla 4 de pasaje del orden binario representativo a la numeración de hexagramas correspondiente al orden del rey Wen

          

                                        Tabla N° 4

          Retomemos el último ejemplo:     x = (08)w = (000010)2 Nivel 1

                                                            y = (09)w = (111011)2 Nivel 5

          Ahora nos preguntamos: ¿Cuántas secuencias conectivas diferentes hay entre estos dos hexagramas?

          Habíamos visto que los lugares permitidos para ir colocando unos (yangs) estaba dado por la diferencia entre niveles: 5 - 1 = 4

          ¿Cuántas colocaciones diferentes por su orden podemos realizar en el 'avance' de niveles consecutivos?

          Del nivel 1 al nivel 2 podemos colocar el 1 en 4 lugares diferentes (C4, 1 = 4). Nos quedan ahora 3 lugares permitidos para pasar del nivel 2 al nivel 3 (agregado de un uno - C3, 1 = 3). Hay ahora dos lugares permitidos para colocar otro 1 (yang) en el pasaje al nivel 4. Y queda fijado el único lugar para pasar del nivel 4 al nivel 5. O sea que en total tenemos:

                    4 x 3 x 2 x 1 = 4 ! = 24 secuencias conectivas posibles

          Esto es para un par de hexagramas que verifiquen la existencia de secuencia conectiva entre los niveles 1 y 5.

          Si ahora nos formulamos la siguiente pregunta:

          ¿Con cuántos hexagramas del nivel 5 hay conectividad (secuencia conectiva) para un hexagrama del nivel 1?

          Tomemos para ejemplificar uno de los hexagramas del nivel 1, el hexagrama 23.

                    (23)w = (000001)2 (tabla n° 3)

          Conectará con todos aquellos del nivel 5 que mantengan el uno (yang) del tope.
          Como en el nivel 5 tenemos 5 unos (yangs), solamente hay un hexagrama que tiene un cero (yin) en el tope (sexto lugar).

                    _ _ _ _ _ 0

          El hexagrama sería:            1 1 1 1 1 0

          (111110)2 = (43)w                     (tabla n° 4)

          El cálculo analítico sería para colocar 5 unos (yangs) en 5 posiciones:

          C5, 5 = 5! / (5! 0!) = 1 hexagrama no conectado

          O desde el punto de vista de los hexagramas conectados:

                    _ _ _ _ _ 1

          debemos colocar ahora 4 unos (yangs) en 5 posiciones:

                    C5, 4 = 5! / (4! 1!) = 5 x 4! / 4! = 5

          En resumen cada hexagrama del nivel 1 conecta con 5 hexagramas del nivel 5, o deja de conectar con uno de este nivel.
          Como en el nivel 1 tenemos seis hexagramas en total, habrá:

          6 x 5 = 30 conexiones posibles

          Y como habíamos visto ya que para cada conexión posible hay 24 secuencias conectivas posibles tendremos un total de secuencias conectivas de :
          24 x 30 = 720

          Resumiendo:

1- En toda la red hay 192 conexiones directas (ver tercera parte de este artículo).
2- Por cada conexión entre un hexagrama del nivel 1 y un hexagrama del nivel 5 tenemos 24 secuencias conectivas posibles (que difieren entre sí en por lo menos una conexión intermedia).
3- Cada hexagrama del nivel 1 conecta con cinco hexagramas del nivel 5.
4- De cada hexagrama del nivel 1 parten entonces 24 x 5 = 120 secuencias conectivas.
5- Como hay seis hexagramas en el nivel 1 tendremos un total de:
120 x 6 = 720 secuencias conectivas.
6- Desde otro punto de vista, por el punto 3 y habiendo seis hexagramas en el nivel 1 habrá un total de conexiones posibles entre los niveles 1 y 5 de:          5 x 6 = 30
7- Como cada conexión posible tiene 24 secuencias conectivas posibles, volvemos a obtener el número total de secuencias conectivas como:          30 x 24 = 720

          Hemos llegado así, en esta cuarta parte del ensayo, a 'visualizar' de la mejor manera posible la red de hexagramas, dada la imposibilidad de su representación en la forma que había sido factible para los casos de digramas y trigramas.

          (Continuará)

          Addenda

          Habiendo completado la preparación de esta cuarta parte del artículo tuve acceso a un material nuevo proveniente del Dr. Andreas Schöter.
          Éste presentó un trabajo, que fue primero publicado en los Proceedings de "La Segunda Conferencia Internacional sobre el I Ching y la Civilización Contemporánea". Esta conferencia tuvo lugar en el Instituto Zhou-Yi de Tainán, Taiwan, entre los días 27 y 30 de noviembre del año 2005.
          El Dr. Schöter tituló su trabajo como: "The Yijing as a Symbolic Language for Abstraction".
          En su oportunidad haremos un análisis del contenido del mismo.
          En este momento el interés reside en mostrar un Diagrama Completo de Red que está incluído en la última parte de su trabajo, precisamente para mostrar la dificultad de la visualización de la representación diagramática.
          En este diagrama debemos tener en cuenta que el Dr. Schöter elige un ordenamiento por valor binario decreciente de izquierda a derecha dentro de cada nivel, mientras que nuestro análisis y las tablas que se han presentado tienen su ordenamiento por nivel en valor binario creciente de izquierda a derecha.
          Debido al ancho de la figura y para no tener que reducirla, lo que haría todavía menos visualizable la misma, se la debe observar con un giro de 90° para hacerla comparable con la figura número 13 de la tercera parte de este artículo, en la que hemos dejado sin indicar las conexiones entre los niveles 1 y 5.

Autor: Ing. Raúl Jurovietzky

Diagrama Completo de Red (Lattice) presentado por el Dr. Andreas Schöter