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Algunas
diferencias entre los métodos tradicionales para su consulta
5° Parte |
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Desarrollaremos,
en esta parte del trabajo, el segundo camino indicado al finalizar la
parte cuarta del mismo.
En el proceso de ir “retrocediendo” en posibilidades habíamos llegado a todas las formas posibles de “cortes” que llevaban a restos 1, 2, 3 ó 4 en las diversas biparticiones con los tallos que habían quedado en la mano izquierda.
Lo que haremos ahora es detenernos en el nivel de los restos posibles que son siempre 1, 2, 3 ó 4, en lugar de pensar en un árbol completo de posibilidades, como se hizo en el camino anterior.
Estos restos vimos que determinan las sumas en las diversas biparticiones y éstas a su vez “concatenadas” conducían a las líneas.
Hacia el final de la parte 3 del presente trabajo observamos que el árbol abierto a partir de los 49 tallos conduce a 64 posibilidades para las líneas. Si pudiéramos demostrar que estas 64 posibilidades son equiprobables habríamos resuelto el problema planteado en forma directa.
Esto es así porque podríamos hacer el cálculo de probabilidades por la relación – válida para el caso de equiprobabilidad:
Probabilidad de un suceso = N° de casos favorables al suceso / N° total de casos posibles
Pues disponemos de los valores correspondientes, obtenidos en el final de la tercera parte del presente trabajo.
Ahora no resulta descorazonador el trabajar con probabilidades pues ya no tenemos que encarar 67996 casos distintos, hallando las probabilidades para cada uno de ellos y luego agrupándolos en forma adecuada.
Este enfoque es totalmente factible pues sabemos que los eventos que surgen de un “experimento” tienen probabilidades.
En
nuestro caso el “experimento” está dado por la cantidad de tallos que
me quedan en la mano izquierda luego de producida una bipartición “subjetivamente
centralizada” y hechos los descartes en grupos de cuatro (en esta mano
izquierda y sin contar el supernumerario).
Es evidente que este “experimento” surge naturalmente de la operatoria, que define eventos a los cuales se pueden asignar probabilidades, que estos eventos son: obtener resto 1 (R1) u obtener resto 2 (R2) u obtener resto 3 (R3) ó, finalmente, obtener resto 4 (R4), y ello en cualquiera de las biparticiones.
Es evidente también que cada uno de estos eventos es compuesto, es decir, que, por ejemplo, a resto 2 (R2) puedo llegar a través de una serie de sucesos elementales y excluyentes entre sí, como ser tener en la mano izquierda luego de la bipartición 2 tallos, ó 6 ó 10, etc.
También es evidente que esos eventos en la segunda y tercera bipartición están condicionados por lo obtenido en la, o las biparticiones anteriores en cuanto a que de acuerdo a lo anterior se partirá de distinto número de tallos.
Teniendo en cuenta lo anteriormente expresado, en lugar de seguir avanzando en nuestro programa con una combinatoria de posibilidades de “cortes”, lo haremos con las probabilidades de los “cortes” que llevan a los restos 1, 2, 3 ó 4 en las distintas biparticiones.
Pasaremos ahora a determinar las probabilidades contenidas en el árbol de posibilidades.
Tendremos a la vista el árbol precitado, en el cual se ha indicado en cada rama (excepto en los de tercera bipartición por ser muchas, pero evidentes – ver el árbol completo de posibilidades en el final de la “parte 3” del presente trabajo), la asociación unívoca entre restos y sumas en cada caso.
Habíamos dicho que en cada bipartición quedan definidos cuatro acontecimientos compuestos (según nuestro “experimento”)
Obtener resto 1 (R1)
Obtener resto 2 (R2)
Obtener resto 3 (R3)
Obtener resto 4 (R4)
Estos acontecimientos son mutuamente excluyentes (si se da uno de ellos no se da ninguno de los otros), y además, también son colectivamente exhaustivos (abarcan todos los resultados posibles del experimento), por lo tanto constituyen una partición del universo de posibilidades. Por ello la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de estos cuatro acontecimientos será la unidad:
La notación utilizada es evidente: P(R1) es la probabilidad de obtener resto 1, etc. etc.
Por supuesto ninguna de estas probabilidades puede ser nula:
Llamamos “grupo completo de casos posibles” (ó grupo completo de descartes ó restos posibles) a la partición del universo determinada por el experimento (los cuatro acontecimientos indicados).
Es evidente que se trata de un grupo completo porque aparte de estos valores (1, 2, 3, ó 4) no puede haber otros
Si
nos fijamos en el árbol completo de posibilidades presentado en la parte
tercera de este trabajo, veremos que cada una de las 64 posibilidades,
cualquiera, tendrá un valor de probabilidad de 1 / 64 (todas de igual
probabilidad), cuando las probabilidades para cada resto sean iguales
y de valor:
1/4 = 0,25, ya que así resultará:
(1/4)1 x (1/4)2 x (1/4)3 = 1/64
Esta multiplicación surge de que para llegar al final del árbol por una cualquiera de las 64 concatenaciones posibles se tiene que dar la línea (ver árbol citado) de la primera bipartición y la línea que sigue por la segunda bipartición, dado que se dio la primera y la línea que sigue por la tercera bipartición, dado que se dieron la primera y la segunda.
Expresado en lenguaje simbólico matemático:
P(Rx1 Ç Ry2 Ç Rz3) = P(Rx1) x P(Ry2 / Rx1) x P(Rz3 / Rx1 Ç Ry2)
En la anterior ecuación las x, y, z que aparecen como subíndices referencian a uno de los cuatro posibles restos, en tanto que los otros subíndices: 1, 2, 3 referencian al número de bipartición.
Así, por ejemplo: P(Rz3 / Rx1 Ç Ry2) se leería como:
La probabilidad de obtener resto z en la tercera bipartición dado que hemos obtenido resto x en la primera bipartición y resto y en la segunda bipartición.
De acuerdo a lo anterior lo que tendríamos que demostrar para que las 64 posibilidades sean equiprobables es que:
P
(R1) = P (R2) = P (R3) = P (R4) = 0,25
Al respecto aparece como una seguridad intuitiva el que en cada bipartición ningún valor de resto es favorecido frente a otro, o sea que tienen igual probabilidad de darse, pero es necesario que esto pase a ser objeto de demostración.
En función de los futuros cálculos y sus aproximaciones, hacemos uso de un neologismo, que me fuera propuesto por el Ing. Carlos Molinero: reemplazar el término “equiprobable” por el de “similprobable”.
Así lo que debemos demostrar es que:
“En cada bipartición ningún valor de resto es favorecido frente a otro. Son similprobables:
P(R1)
@ P(R2) @ P(R3) @ P(R4)
Por lo tanto cada uno de estos vale 0,25 aceptando un error sobre este valor de ± 1% “
Comenzaremos ahora el proceso de “retroceder” en probabilidades.
1 – Caso: 49 tallos antes de la bipartición
Según vimos en la parte cuarta del presente trabajo, los “cortes” que llevan a los diversos restos, para este caso son:
R1: 1 – 5 – 9 – 13 – 17 – 21 – 25 – 29 – 33 – 37 – 41 – 45
R2: 2 – 6 – 10 – 14 – 18 – 22 – 26 – 30 – 34 – 38 – 42 – 46
R3: 3 – 7 – 11 – 15 – 19 – 23 – 27 – 31 – 35 – 39 – 43 – 47
R4: 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32 – 36 – 40 – 44
Pasando ahora a probabilidades y, dado que los posibles resultados de los “cortes” son elementales o sea “mutuamente excluyentes”, la probabilidad para cada resto es la suma de las probabilidades elementales. Tendremos:
De igual forma para los otros casos tenemos:
2 – Caso: 44 tallos antes de la bipartición
R1: 1 – 5 – 9 – 13 – 17 – 21 – 25 – 29 – 33 – 37 – 41
R2: 2 – 6 – 10 – 14 – 18 – 22 – 26 – 30 – 34 – 38 – 42
R3: 3 – 7 – 11 – 15 – 19 – 23 – 27 – 31 – 35 – 39
R4: 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32 – 36 – 40
3 – Caso: 40 tallos antes de la bipartición
R1: 1 – 5 – 9 – 13 – 17 – 21 – 25 – 29 – 33 – 37
R2: 2 – 6 – 10 – 14 – 18 – 22 – 26 – 30 – 34 – 38
R3: 3 – 7 – 11 – 15 – 19 – 23 – 27 – 31 – 35
R4: 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32 – 36
4 – Caso: 36 tallos antes de la bipartición
R1: 1 – 5 – 9 – 13 – 17 – 21 – 25 – 29 – 33
R2: 2 – 6 – 10 – 14 – 18 – 22 – 26 – 30 – 34
R3: 3 – 7 – 11 – 15 – 19 – 23 – 27 – 31
R4: 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32
5 – Caso: 32 tallos antes de la bipartición
R1: 1 – 5 – 9 – 13 – 17 – 21 – 25 – 29
R2: 2 – 6 – 10 – 14 – 18 – 22 – 26 – 30
R3: 3 – 7 – 11 – 15 – 19 – 23 – 27
R4: 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28
P(R3)=P(3)+P(7)+P(11)+P(15)+P(19)+P(23)+P(27)
Hasta
este punto se puede llegar sin idealizaciones ni supuestos aproximativos.
En lo que sigue no hay más remedio que entrar en esos carriles.
1 – En cada bipartición tenemos una distribución de probabilidades discreta desconocida y de marcada simetría.
2 – Cuando partimos de 49 tallos tenemos 47 valores posibles para la variable aleatoria (:
1 – 2 – 3 – 4 - ... – 45 – 46 – 47
3 – Cuando partimos de 44 tallos tenemos 42 valores posibles para la variable aleatoria (:
1 – 2 – 3 – 4 - ... – 40 – 41 – 42
4 – Cuando partimos de 40 tallos tenemos 38 valores posibles para la variable aleatoria (:
1 – 2 – 3 – 4 - ... – 36 – 37 – 38
5 – Cuando partimos de 36 tallos tenemos 34 valores posibles para la variable aleatoria (:
1 – 2 – 3 – 4 - ... – 32 – 33 – 34
6 – Cuando partimos de 32 tallos tenemos 30 valores posibles para la variable aleatoria (:
1 – 2 – 3 – 4 - ... – 28 – 29 – 30
7 – Debido a la gran cantidad de factores aleatorios de pequeña magnitud que intervienen en cada caso concreto y a la acentuada simetría, suponemos que dentro de un cierto rango de valores de los parámetros principales puede ser aproximada la distribución discreta desconocida por una distribución continua normal.
8 – Una distribución normal queda determinada al conocerse dos parámetros:
m (media)
s (desvío estándar)
La función densidad de la variable aleatoria (, con media m y desvío estándar s es:
fN(() = {1 / [s. (2p)1/2] } . e - (1/2). [(( - m) / s]2
con: - : ¢ ( ¢ + :
donde p = 3,14159... y e = 2,71828...
Se trabaja para los cálculos y uso de tablas de probabilidades con la llamada función estandarizada a la que se llega a través de la llamada transformación z. Esta consiste en realizar el siguiente cambio de variable:
z = (( - m) / s
Con este cambio tenemos una distribución normal de media cero (m = 0) y varianza unidad (s2 = 1).
Resulta la función densidad de la distribución normal estandarizada
fN* (z) = {1 / [(2p)1/2] } . e - (1/2).Z 2
que como es independiente de m y de s sirve para trabajar con una tabla única válida para todos los casos.
Lo que se denomina: “Función de Distribución Normalizada” es la acumulada inferior correspondiente a un valor particular de z, por ejemplo z1 y es la integral de la función de densidad normalizada entre los valores: - ¥ y z1:
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9 – Si bien en cada caso concreto puede haber una tendencia a que la media esté por encima o por debajo del valor ideal medio, el promedio de las medias concretas – en una gran cantidad de casos – será un valor ideal que surge de los datos iniciales de la bipartición y coincide con el modo promedio y la mediana.
Los valores de mN en los diversos casos serán:
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Caso
49: mN
= 25...
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Caso
44: mN
=
22,5
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Caso
40: mN
= 20,5
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Caso
36: mN
= 18,5
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Caso
32: mN
= 20,5
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10 – En cuanto al desvío estándar, para empezar los cálculos se ha realizado una pequeña experiencia por la que se obtuvieron valores de sN= 3 (teniendo en cuenta que en la distribución normal el 68% de los valores está entre ± 61s).
11 – Podemos inicialmente realizar cálculos con los valores indicados para observar a que valores arribamos y luego, eventualmente, plantearnos la pregunta: ¿Entre qué valores de s (en cada caso) sigue siendo válida la aproximación normal?
12 – En resumen, comenzaremos los cálculos tomando:
| Caso 49: mN =25 ....sN = 3 |
| Caso 44: mN =22,5 sN = 3 |
| Caso 40: mN =20,5 sN = 3 |
| Caso 36: mN =18,5 sN = 3 |
| Caso 32: mN =16,5 sN = 3 |
13 – Debemos tener en cuenta que utilizamos una distribución continua para aproximar a una distribución discreta y que, por ello, debemos introducir una corrección por continuidad. Esta es el valor ½, el que si utilizamos una tabla de probabilidades acumuladas inferiores de la normal estandarizada nos llevaría a:
14 – También hay que tener en cuenta que debemos aproximar con una distribución normal truncada, puesto que la normal tiene un dominio que se extiende entre - ¥ y + ¥. Nosotros en la distribución discreta desconocida iremos en cada caso:
Caso 49: De 1 a 47
Caso 44: De 1 a 42
Caso 40: De 1 a 38
Caso 36: De 1 a 34
Caso 32: De 1 a 30
Los valores de las “colas” en muchos de los casos serán de magnitud irrelevante y en esos casos no será necesaria la corrección por truncamiento.
En cada caso al calcular la sumatoria de las probabilidades, de acuerdo al valor obtenido contrastado con la unidad, decidiremos sobre la conveniencia de la corrección por truncamiento.
Esta conveniencia la fijamos con el siguiente criterio:
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Dicha
corrección, de ser conveniente de acuerdo al criterio fijado, se realizará
tomando, en lugar del valor de las
P(() anteriores
los nuevos valores P’(() que
surgen de los cocientes:
P’ (() = P (() / S P (()
Con
todo lo anterior en vista comenzaremos los cálculos respectivos.
Para estos, por mayor precisión - necesaria en este caso por cierto – en lugar de tablas de acumuladas inferiores para la distribución normal estandarizada, se ha utilizado un programa de computación que proporciona 15 decimales y, en las diferencias necesarias, mantiene, aparte de los ceros que siguen al punto decimal, 6 dígitos significativos en la fracción decimal.
Para
los primeros cálculos efectuados se tomó el valor:
sN = 3
En
el caso de partida de 49 tallos (primera bipartición), con mN= 25 se llegó a los siguientes resultados:
P
(R1) = 0,250007
P
(R2) = 0,25
P
(R3) = 0,249993